Question

cho các số dương x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của A= x+y/xyz

Answer 1

x+y+z=(x+y)+z=1 => [(x+y)+z]²=1

Ta có: \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)

Mặt khác: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Suy ra 1.(x+y)² \(\ge\)4(x+y)z.4xy<=>(x+y)^2\(\ge\)16xyz(x+y) \(\Leftrightarrow x+y\ge16xyz\)\(\Leftrightarrow A=\frac{x+y}{xyz}\ge16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x=y\end{cases}}\) kết hợp với điều kiện ban đầu x+y+z=1,giải hệ ra <=> x=y=1/4; z=1/2

Vậy minA=16 khi x=y=1/4; z=1/2