Dự đoán: Min P = -1 khi a = b = c = 1
GIải:
Đặt \(p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc\) thì r = 1.
Cần chứng minh: \(p-2\sqrt{1+q}\ge-1\Leftrightarrow p+1\ge2\sqrt{1+q}\)
\(\Leftrightarrow p^2+2p+1\ge4\left(1+q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(p^2-4q\right)+\left(2p-3\right)\ge0\). Theo Schur:
\(p^3+9r\ge4pq\Leftrightarrow p\left(p^2-4q\right)\ge-9r=-9\)
\(\Rightarrow p^2-4q\ge-\frac{9}{p}\). Do đó cần chứng minh:
\(-\frac{9}{p}+2p-3\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(p-3\right)\left(2p+3\right)}{p}\ge0\)
Đúng vì: \(p=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
