Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ (*) sau : \(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(< =>\left(x^2+y^2\right)2\ge\left(x+y\right)^2< =>2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\)
\(< =>2x^2+2y^2-x^2-y^2-2xy\ge0< =>x^2-2xy+y^2\ge0< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Sử dụng bất đẳng thức (*) ta có : \(Q=\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^2}{1}+\frac{\left(b+\frac{1}{a}\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{a}\right)^2}{2}=\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}\)
Tiếp tục ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ (**) sau : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab< =>a^2+b^2+2ab-4ab\ge0< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta được : \(\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}=\frac{\left[1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Khi đó \(Q\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
dòng cuối là : Vậy GTNN của Q = 25*2 khi a = b = 1/2
