Question

Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3-2808^{2017}=2\left(c^3-8d^3\right)\)

Chứng minh \(a+b+c+d⋮3\)

Answer 1

Bài làm

\(a^3+b^3-2808^{2017}=2c^3-16d^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+16d^3-2c^3=2808^{2017}⋮3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+d^3+c^3+15d^3-3c^3⋮3\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)+3\left(5d^3-c^3\right)⋮3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3⋮3\)

Xét:\(k^3-k\left(k\in Z\right)=k\left(k^2-1\right)=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

Mà: \(k-1;k;k+1\)là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow k^3-k⋮3\Rightarrow\left(a^3-a+b^3-b+c^3-c+d^3-d⋮3\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+d⋮3\left(vì:a^3+b^3+c^3+d^3⋮3\right)\)

Answer 2

MN xem thánh copy của năm Thiên thần nhỏ