Question

Cho \(a+b+c=0\) và \(a,b,c\ne0\)

Chứng minh:

\(A=\sqrt{\dfrac{6a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{6b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{6c^2}{c^2-a^2-b^2}}\) là số nguyên

Có ai giỏi toán không

Answer 1

Ta có :\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a=-b-c\)

\(\Leftrightarrow a^2=\left(b+c\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

cmtt ta có \(b^2-c^2-a^2=2ca\)

\(c^2-a^2-b^2=2ab\)

Ngoài ra cần cm \(a^3+b^3+c^3=3abc\) cái này bạn tự xem trên mạng

Khi đó \(A=\sqrt{\dfrac{6a^2}{2bc}+\dfrac{6b^2}{2ca}+\dfrac{6c^2}{2ab}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{3a^2}{bc}+\dfrac{3b^2}{ca}+\dfrac{3c^2}{ab}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{3.3abc}{abc}}=\sqrt{9}=3\)

Vậy A=3 khi a+b+c=0 và a,b,c khác 0