Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hoặc \(a=0;b=c\) và hoán vị thì \(VT=2\) ta chứng minh \(2\) là GTNN. Thật vậy ta cần chứng minh:
\(a^5b+ab^5+b^5c+bc^5+c^5a+ca^5\ge a^4b^2+a^2b^4+b^4c^2+b^2c^4+c^4a^2+c^2a^4\)
\(\Leftrightarrow\left(b^3c+b^2c^2+bc^3\right)\left(b-c\right)^2+\left(a^3c+a^2c^2+ac^3\right)\left(c-a\right)^2+\left(a^3b+a^2b^2+ab^3\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
BĐT cuối luôn đúng nên ta có :
\(GTNN=2\) khi \(a=b=c\) hoặc \(a=0;b=c\) và hoán vị
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2\left(2ab+ac+bc-c^2\right)}{3\left(b^2+c^2+bc\right)\left(c^2+ca+a^2\right)}+2\ge2\)
Em mới nghĩ ra cái này: C/m: \(\Sigma\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\ge2\)
BĐT \(\Leftrightarrow\frac{M}{\left(a+b+c\right)\Pi\left(a^2+ab+b^2\right)}\ge0\)
\(M=\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma a^2+\Sigma ab\right)\left(\Sigma a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\right)+abc\left(\Sigma a^2-\Sigma ab\right)^2\ge0\)
Chứng minh: \(\Sigma a\left(a-b\right)\left(a-c\right)\ge0\). Đến đây không muốn nhai lại bài đã làm nên em đưa link nhé:
sos with schur (lời giải của SBM)
