Question

Cho △ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD ⊥ BC (D ∈ BC).

a) Chứng minh BA = BD.

b) Gọi E là giao điểm của 2 đường thẳng DM và BA. Chứng minh △ABC = △DBE.

c) Chứng minh ME = MC.

d) Kẻ BH ⊥ EC tại H. Chứng minh 3 điểm B, M, H thẳng hàng.

Answer 1

 a) Do BM là tia phân giác của ABC (gt)

⇒ ∠ABM = ∠DBM

Xét hai tam giác vuông: ∆ABM và ∆DBM có:

BM là cạnh chung

∠ABM = ∠DBM (cmt)

⇒ ∆ABM = ∆DBM (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ BA = BD (hai cạnh tương ứng)

b) Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆DBE có:

BA = BD (cmt)

∠B chung

⇒ ∆ABC = ∆DBE (cạnh huyền - góc nhọn)

c) Do ∠ABM = ∠DBM (cmt)

⇒ ∠EBM = ∠CBM

Do ∆ABC = ∆DBE (cmt)

⇒ BC = BE (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆MBE và ∆MBC có:

BE = BC (cmt)

∠EBM = ∠CBM (cmt)

BM là cạnh chung

⇒ ∆MBE = ∆MBC (c-g-c)

⇒ ME = MC (hai cạnh tương ứng)

c) ∆BCE có:

CA ⊥ AB (ABC vuông tại A)

⇒ CA ⊥ BE

⇒ CA là đường cao của ∆BCE (1)

MD ⊥ BC (gt)

⇒ ED ⊥ BC

⇒ ED là đường cao thứ hai của ∆BCE (2)

M là giao điểm của AC và ED

⇒ M là giao điểm của ba đường cao của ∆BCE

Mà BH ⊥ CE (gt)

⇒ BH là đường cao thứ ba của ∆BCE

⇒ B, M, H thẳng hàng