Question

Cho △ABC vuông tại A, AH là độ cao (H ∈ BC). Gọi C là điểm và AC lấy không bắt kỳ. Gọi D là hình chiếu của A lên BK.

b) Chứng minh: HK .cos(ABK) = CD.sin(ACB).

Answer 1

Xét ΔBAK vuông tại A có AD là đường cao

nên \(BD\cdot BK=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BD\cdot BK=BH\cdot BC\)

=>\(\dfrac{BD}{BH}=\dfrac{BC}{BK}\)

Xét ΔABK vuông tại A có \(cosABK=\dfrac{AB}{BK}\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinACB=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\dfrac{cosABK}{sinACB}=\dfrac{AB}{BK}:\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BC}{BK}\left(4\right)\)

Xét ΔBDC và ΔBHK có

\(\dfrac{BD}{BH}=\dfrac{BC}{BK}\)

\(\widehat{DBC}\) chung

Do đó: ΔBDC~ΔBHK

=>\(\dfrac{DC}{HK}=\dfrac{BD}{BH}=\dfrac{BC}{BK}\)(3)

Từ (3),(4) suy ra \(\dfrac{DC}{HK}=\dfrac{cosABK}{sinACB}\)

=>\(DC\cdot sinACB=HK\cdot cosABK\)