Question

Cho a,b,c, là các số thực thỏa mãn a+b+c=1.
CMR \(5\left(a^2+b^2+c^2\right)< =6\left(a^3+b^3+c^3\right)+1\)

Answer 1

BĐT \(\Leftrightarrow6\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a+b+c\right)^3\ge5\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (do a + b + c = 1)

\(\Leftrightarrow2\left[a^3+b^3+c^3+3abc-\left(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right)\right]\ge0\)

Luôn đúng theo bđt Schur bậc 3 nên ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left\{\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right);\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right);\left(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}\right);\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\right\}\)

Cách này mà sai thì em chịu luôn!