Đặt \(2^a=x;2^b=y;2^c=z\left(x,y,z>0\right)\)
=>\(xyz=2^{a+b+c}=1\)
Khi đó ĐPCM trở thành
\(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
Cosi \(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z\)
=> \(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\)
Mà \(\)\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1=> \(a=b=c=0\)
Trần Phúc Khang hình như chỗ \(x+y+z\ge3\)\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\) ngược dấu đó anh
Cần chứng minh: \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
\(x^3+y^3+z^3\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)
Mà \(x+y+z=2^a+2^b+2^c\ge3\sqrt[3]{2^{a+b+c}}=3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\le x^3+y^3+z^3\) đpcm
sai thì mn góp ý ạ
t nghĩ cách này ổn hơn :
điểm rơi : a = b = c = 0
Ta có : \(8^a+8^0+8^0\ge3\sqrt[3]{8^a.8^0.8^0}=3\sqrt[3]{\left(2^a\right)^3}=3.2^a\)
Tương tự : \(8^b+8^0+8^0\ge3.2^b\); \(8^c+8^0+8^0\ge3.2^c\)
\(2\left(8^a+8^b+8^c\right)\ge2.3\sqrt[3]{8^a.8^b.8^c}=6\sqrt[3]{8^{a+b+c}}=6\)
Cộng từng vế theo vế , ta được :
\(3\left(8^a+8^b+8^c\right)+6\ge6+3\left(2^a+2^b+2^c\right)\)
\(\Rightarrow8^a+8^b+8^c\ge2^a+2^b+2^c\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c= 0
