Question

Cho a,b,c dương thỏa mãn a=b+c=3. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2+ab^2}{b^2+a+b}+\frac{b^2+bc^2}{c^2+b+c}+\frac{c^2+ca^2}{a^2+a+c}\ge2\)

Answer 1

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^2+ab^2}{a+b+b^2}=a-\frac{ab}{a+b+b^2}\ge a-\frac{ab}{3\sqrt[3]{a}b}=a-\frac{\sqrt[3]{a^2}}{3}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{b^2+bc^2}{b+c+c^2}\ge b-\frac{\sqrt[3]{b^2}}{3};\frac{c^2+ca^2}{a+c+a^2}\ge c-\frac{\sqrt[3]{c^2}}{3}\)

Cộng theo vế các BĐT trên và theo BĐT Holder ta có:

\(VT\ge a+b+c-\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}}{3}\)\(\ge3-\frac{\sqrt[3]{3\left(a+b+c\right)^2}}{3}=2\)

"=" khi \(a=b=c=1\)