Ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{cases}\Rightarrow}2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
giải: với a;b;c >0
áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có
a+b >= 2/ab
b+c >= 2/bc
a+c >= 2/ac
Cộng 2 vế ta đc: 2( a +b +c ) >=2 ( /ab+ /bc+ /ac )
=> a+b+c >=/ab+ /bc + /ac (đpcm)
Ta có : \(\left(a+b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Tương tư : \(b^2+c^2\ge2bc\), \(a^2+c^2\ge2ac\)
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
