Question

Cho a,b,c> 0, a+b+c=3

CMR \(a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)

Answer 1

Một kiểu biến đổi tương đương khác.

\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

\(VT-VP=\frac{\left(7a^2+8ab-ac+7b^2-bc-2c^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4}\ge0\)

Ta có qed./.

P/s: Bài giải trong 3 dòng:D

Answer 2

Làm sao để biến đổi được như mình? Không hề khó! Ta có:

\(f\left(a;b;c\right)=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a-b\right)^2\) (1)

\(=f_1\left(a-c\right)\left(b-c\right)+f_2\left(a+b-2c+2\left(c-b\right)\right)^2\)

\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(a+b-2c\right)\left(c-b\right)+4f_2\left(c-b\right)^2\)

\(=f_1\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2+4f_2\left(c-b\right)\left(a+b-2c+c-b\right)\)

\(=-\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)+f_2\left(a+b-2c\right)^2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(f\left(a;b;c\right)=\frac{f_2\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_2.f_1.\left(a+b-2c\right)^2}{4f_2-f_1+f_1}\)

\(=\frac{\left(4f_2-f_1\right)\left(a-b\right)^2+f_1\left(a+b-2c\right)^2}{4}\) (3)

Như vậy, ta chỉ cần tìm được cách phân tích (1) thì sẽ tìm được cách phân tích (3).

Trở lại bài trên: \(VT-VP=2\left(a^4+b^4+c^4\right)-a^3\left(b+c\right)-b^3\left(c+a\right)-c^3\left(a+b\right)\)

\(=\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2\)

Từ đó dẫn đến cách phân tích bên trên.

Answer 3

Lời giải:

Sử dụng PP biến đổi tương đương kết hợp với \(a+b+c=3\)

\(a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)\)

\(\Leftrightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq a^4+b^4+c^4+a^3b+a^3c+b^3c+b^3a+c^3a+c^3b\)

\(\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq a^3b+a^3c+b^3c+b^3a+c^3b+c^3a\)

\(\Leftrightarrow (a^4+b^4-a^3b-b^3a)+(b^4+c^4-b^3c-bc^3)+(c^4+a^4-a^3c-ac^3)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow [a^3(a-b)-b^3(a-b)]+[b^3(b-c)-c^3(b-c)]+[c^3(c-a)-a^3(c-a)]\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)+(b-c)^2(b^2+bc+c^2)+(c-a)^2(c^2+ca+a^2)\geq 0\)

(Luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Answer 4

Áp dụng AM-GM ta có:

$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$

$b^4+b^4+b^4+1\geq 4b^3$

$c^4+c^4+c^4+1\geq 4c^3$

$\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)\geq 3(a^3+b^3+c^3)+(a^3+b^3+c^3-3)$

Mà $(a^3+1+1)+(b^3+1+1)+(c^3+1+1)\geq 3(a+b+c)=9\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq 3$

Suy ra đpcm