Question

Cho a,b > 0 và a + b < hoặc bằng 1 . Tìm GTNN của S = \(ab+\dfrac{1}{ab}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\sqrt{ab.\dfrac{1}{ab}}\)

\(\Rightarrow ab+\dfrac{1}{ab}\ge2.\sqrt{1}=2.1=2\)

Dâu "=" sảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)

Vậy GTNN của biểu thức là 2 đạt được khi và chỉ khi \(a=b=1\)

Chúc bạn học tốt!!!

Answer 2

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow1\ge4ab\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\ge ab\)

\(S=ab+\dfrac{1}{ab}=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{ab.\dfrac{1}{16ab}}+\dfrac{15}{16ab}\) \(\Leftrightarrow S\ge2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{16ab}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16ab}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{17}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)