Question

cho a, b, c >0 và a+b+c<=3

tìm GTNN của \(B=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta được:

\(B=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{1+a+1+b+1+c}\)

\(\Rightarrow B\ge\dfrac{9}{3+a+b+c}\) (1)

Vì \(a+b+c\le3\Rightarrow3+a+b+c\le6\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+a+b+c}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\) (2)

Từ (1),(2) \(\Rightarrow B\ge\dfrac{3}{2}\)

=> Min_B = \(\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy Min_B = \(\dfrac{3}{2}\) khi a = b = c = 1

Answer 2

Theo BĐT Cauchy ta có :

\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\ge\dfrac{9}{3+a+b+c}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(MAX_B=\dfrac{3}{2}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)