Nhân cả hai vế với 2:
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2caChuyển tất cả các hạng tử sang vế trái:
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca=0Nhóm các hạng tử để tạo thành các hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)=0Biến đổi thành tổng của các bình phương:
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0Vì bình phương của một số thực luôn ≥0, nên để tổng của ba số không âm bằng 0, từng số hạng phải bằng 0:
⎩⎨⎧(a−b)2=0⟹a−b=0⟹a=b(b−c)2=0⟹b−c=0⟹b=c(c−a)2=0⟹c−a=0⟹c=aVậy, ta có a=b=c.
Giả sử \(a , b , c\) là số thực. Ta có phép biến đổi sau: \(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + \left(\right. c - a \left.\right)^{2} & = \left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. b^{2} - 2 b c + c^{2} \left.\right) + \left(\right. c^{2} - 2 c a + a^{2} \left.\right) \\ & = 2 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right) .\)
Theo giả thiết \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a\). Thay vào biểu thức trên được
\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + \left(\right. c - a \left.\right)^{2} = 2 \cdot 0 = 0.\)
Tổng của ba bình phương real bằng \(0\) chỉ xảy ra khi mỗi bình phương đều bằng \(0\). Do đó
\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = 0 , \left(\right. b - c \left.\right)^{2} = 0 , \left(\right. c - a \left.\right)^{2} = 0 ,\)
suy ra \(a = b = c\).
Vậy với \(a , b , c \in \mathbb{R}\) từ điều kiện đã cho phải có \(a = b = c\).
a2+b2+c2=ab+bc+ca
a2+b2+c2−ab−bc−ca=0
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca=0
(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)=0
(a−b)2=0 (b−c)2=0 (c−a)2=0
a-b = 0 b-c = 0 c-a = 0
=> a=b=c
Giả sử \(a , b , c\) là số thực. Ta có phép biến đổi sau: \left(\right. a - b \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + \left(\right. c - a \left.\right)^{2} & = \left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. b^{2} - 2 b c + c^{2} \left.\right) + \left(\right. c^{2} - 2 c a + a^{2} \left.\right) \\ & = 2 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right) .
Theo giả thiết \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a\). Thay vào biểu thức trên được
\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} + \left(\right. b - c \left.\right)^{2} + \left(\right. c - a \left.\right)^{2} = 2 \cdot 0 = 0.\)
Tổng của ba bình phương real bằng \(0\) chỉ xảy ra khi mỗi bình phương đều bằng \(0\). Do đó
\(\left(\right. a - b \left.\right)^{2} = 0 , \left(\right. b - c \left.\right)^{2} = 0 , \left(\right. c - a \left.\right)^{2} = 0 ,\)
suy ra \(a = b = c\).
Vậy với \(a , b , c \in \mathbb{R}\) từ điều kiện đã cho phải có \(a = b = c\)
Tick mình 5 sao nha!
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\)
=>\(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc\)
=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
=>\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
=>\(\begin{cases}a-b=0\\ a-c=0\\ b-c=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c\)
