Question

Cho a và b thuộc N.Chứng minh rằng:

a)UCLN(a;b)=UCLN(a;a+b)

b)UCLN(a;b)=UCLN(a;a+b/2)(a;b là các số lẻ)

Hi vọng các bạn giải nhanh chút mình cần gấp lắm.Thank you

 

Answer 1

a: Gọi d=ƯCLN(a;a+b)

=>a⋮d và a+b⋮d

=>a+b-a⋮d

=>b⋮d

=>ƯCLN(a;b)=d

=>ƯCLN(a;b)=ƯCLN(a;a+b)

b: a là số lẻ nên a=2x+1

b là số lẻ nên b=2y+1

\(\frac{a+b}{2}=\frac{2x+1+2y+1}{2}=x+y+1\)

Gọi d=ƯCLN(a;(a+b)/2)

=>d=ƯCLN(2x+1;x+y+1)

=>2x+1⋮d và x+y+1⋮d

=>2x+1-x-y-1⋮d

=>x-y⋮d

=>2x-2y⋮d

=>(2x+1)-(2y+1)⋮d

=>a-b⋮d

mà a⋮d

nên b⋮d

=>ƯCLN(a;b)=d

=>ƯCLN(a;b)=ƯCLN(a;(a+b)/2)