\(a=\sqrt{65}-\sqrt{63}=\dfrac{2}{\sqrt{65}+\sqrt{63}}\)
Giả sử \(\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{16}< a=\dfrac{2}{\sqrt{65}+\sqrt{63}}< \dfrac{2}{15}\)
- Chứng minh vế trái nên
\(16>\sqrt{65}+\sqrt{63}\Leftrightarrow256>128+6\sqrt{455}\Leftrightarrow64>3\sqrt{455}\)
\(\Leftrightarrow4096>4095\left(đúng\right)\) \(\left(1\right)\)
- Chứng minh vế phải nên
\(15< \sqrt{65}+\sqrt{63}\Leftrightarrow225< 128+6\sqrt{455}\Leftrightarrow127< 6\sqrt{455}\)
\(\Leftrightarrow16129< 2730\left(đúng\right)\) \(\left(2\right)\)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\) điều giả sử đúng nên \(\dfrac{1}{8}< a< \dfrac{2}{15}\left(đpcm\right)\)
\(A=\sqrt{65}-\sqrt{63}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{2}{\sqrt{65}+\sqrt{63}}\)
+) CM \(A< \dfrac{2}{15}\)
Ta có:\(\sqrt{65}+\sqrt{63}>8+7=15\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{65}+\sqrt{63}}< \dfrac{2}{15}\)
\(\Rightarrow A< \dfrac{2}{15}\)
+) CM \(A>\dfrac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\) với \(a,b\ge0\),ta có:
\(\dfrac{\sqrt{65}+\sqrt{63}}{2}< \sqrt{\dfrac{65+63}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{65}+\sqrt{63}}{2}< 8\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{65}+\sqrt{63}< 16\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{65}+\sqrt{63}}>\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow A>\dfrac{1}{8}\)
Từ các điều trên suy ra \(\dfrac{1}{8}< A< \dfrac{2}{15}\)
