cho A nằm ngoài (O;R) , kẻ hai tiếp tuyến AB,AC . Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a) c/minh 4 ddiiemr A,B,C,O cùng thuộc một đường tròn
b) c/minh Oa vuuong góc với BC . tính OH.OA theo R
c) tia AO cắt (O;R) tại M vàN ( M thuộc AN) c/minh AM.AN=AH.AO
d) KẺ BD thuuocj (O;R) gọi E là hình chiếu của C trên BD , K là giao điểm của AE và CE . c/minh k là trung điểm của CE
a: Xét tứ giác ABCO có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABCO là tứ giác nội tiếp
=>A,B,C,O cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
c: Xét (O) có
\(\widehat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM
\(\widehat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM
Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{BNM}\)
Xét ΔABM và ΔANB có
\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)
\(\widehat{BAM}\) chung
Do đó: ΔABM~ΔANB
=>\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)
=>\(AM\cdot AN=AB^2\left(3\right)\)
Xét ΔOBA vuông tại B có HB là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AM\cdot AN=AH\cdot AO\)
a) Xét tứ giác ABOC:
\(\text{OA = OB = OC}=R\)
\(\widehat{\text{ABO}}=\widehat{\text{ACO}}=90^o\) (tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(\text{ABOC}\) nội tiếp (tứ giác có hai góc đối nhau bằng \(180^o\))
\(\Rightarrow\) 4 điểm \(\text{A;B;C;O}\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Xét tam giác OAB và OAC:
\(OA\) chung
\(\text{OA = OB = OC}=R\)
\(\text{AB = AC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OAC\left(c.c.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{\text{BAO}}=\widehat{\text{CAO }}\) (hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{\text{BAO}}+\widehat{\text{ CAO}}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{\text{BAO}}=\widehat{CAO}=90^o\)
\(\Rightarrow OA\perp BC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB:
\(OH.OA=OB^2=R^2\)
c) Xét tam giác OAM và tam giác OAN:
\(OA\) chung
\(\widehat{\text{OAM}}=\widehat{OAN}\left(cmt\right)\)
\(\text{OM = ON}=R\)
\(\Rightarrow\Delta\text{ }OAM=\Delta OAN\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AM=AN\)
Xét tam giác OAH và tam giác OAM:
\(\widehat{\text{OAH}}\) chung
\(\widehat{\text{OHA}}=\widehat{\text{OMA}}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta OAH\approx\Delta OAM\)
\(\Rightarrow\dfrac{OA}{OH}=\dfrac{OM}{OA}\)
\(\Rightarrow OA^2=OH.OM\)
\(OM=AN\);\(AM=AN\left(cmt\right);OA=OH\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\text{AM.AN = AH.AO}\)
d) tứ giác ABDE :
\(\widehat{ABD}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\widehat{AEB}=90^o\) (CE vuông góc với BD)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(\text{ABDE}\) nội tiếp (tứ giác có hai góc đối nhau bằng \(180^o\))
Xét tam giác ACE và tam giác AKB :
\(\widehat{CAE}\) chung
\(\widehat{\text{ACE}}=\widehat{ABK}\) (cùng chắn cung \(\text{BE}\))
\(\Rightarrow\Delta ACE\approx\Delta AKB\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AK}=\dfrac{AC}{AB}\)
Mà \(AB=AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow AE=AK\)
Xét tam giác AKE :
\(AE=AK\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AKE\) cân tại \(\text{ A}\)
Mà \(CE\perp AK\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow CE\) là đường trung trực của \(\text{AK}\)
Vậy K là trung điểm của CE
