Question

Cho A = \(\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}\); B = \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+1}\)(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ \(\dfrac{1}{4}\)). Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức: P = 5A + B nguyên.

Answer 1

Lời giải:

$5A+B=\frac{5\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}+1}$

$2(5A+B)=\frac{10\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+1}=\frac{5(2\sqrt{x}+1)-3}{2\sqrt{x}+1}=5-\frac{3}{2\sqrt{x}+1}$

$5A+B$ nguyên 

$\Rightarrow 2(5A+B)$ nguyên 

$\Leftrightarrow 5-\frac{3}{2\sqrt{x}+1}$ nguyên 

$\Leftrightarrow \frac{3}{2\sqrt{x}+1}$ nguyên 

Ta thấy: $\frac{3}{2\sqrt{x}+1}\leq 3$ với mọi $x\geq 0$ và $\frac{3}{2\sqrt{x}+1}>0$ với mọi $x\geq 0$

Do đó $\frac{3}{2\sqrt{x}+1}$ nguyên thì nhận các giá trị $1,2,3$

$\Leftrightarrow x=0; \frac{1}{16}; 1$