Lời giải:
BĐT $\Leftrightarrow \frac{c(a+b+c)+ab}{a+b}+\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}+\frac{b(a+b+c)+ac}{a+c}\geq 2$
$\Leftrightarrow \frac{(c+a)(c+b)}{a+b}+\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+a)(b+c)}{a+c}\geq 2$
Đặt $a+b=x, b+c=y, c+a=z$ thì bài toán trở thành:
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=2$. CMR:
$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq 2(*)$
Thật vậy:
$(*)\Leftrightarrow \frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz}\geq 2$
$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 2xyz=xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-2xyz(x+y+z)\geq 0$
$\Leftrightarrow (xy-yz)^2+(yz-xz)^2+(zx-xy)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$
$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
