- Vì vai trò của a , b ,c trong bài này là như nhau nên có thể giả sử \(a\le b\le c\)mà không làm giảm đi tính tổng quát của bài toán . Khi đó ta có :
\(3=a+b+c\le3c\Rightarrow c\ge1\Rightarrow1\le x\le2\)
Ta có : \(a^2+b^2\le\left(a+b\right)^2\)(vì \(a,b\ge0\))
\(\Rightarrow A\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2=2c^2-6c+9\)
\(\le2.\left(c^2-3c+\frac{9}{4}\right)+\frac{9}{2}=2\left(c-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\)
Do \(1\le c\le2\)nên \(-\frac{1}{2}\le x-\frac{3}{2}\le\frac{1}{2}\Rightarrow|c-\frac{3}{2}|\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2|x-\frac{3}{2}|^2+\frac{9}{2}\le2.\frac{1}{4}+\frac{9}{2}=5\Rightarrow A\le5\)
Dễ thấy khi a = 0 ; b = 1 ; c = 2 thỏa mãn \(a,b,c\in\left[0;2\right];a+b+c=3\)và \(a\le b\le c\)thì A = 5
Vậy : \(A_{max}=5\)
Do \(a,b,c\in\left[0;2\right]\)nên \(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\)\(\Leftrightarrow abc-2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)-8\le0\)\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4+abc\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2+c^2+abc+4\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5-abc\le5\)(Do \(a,b,c\ge0\))
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số a, b, c có một số bằng 0, một số bằng 1 và một số bằng 2
