Question

Cho a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1. CMR :

\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{2}{3}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4+c^4)(1+1+1)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$(a^2+b^2+c^2)^2=(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq (ab+bc+ac)^2=1^2=1$

$\Rightarrow (a^4+b^4+c^4).3\geq (a^2+b^2+c^2)^2\geq 1$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$