\( \begin{array}{l} Ta\ có:\ a +b +c =1\\ \Longrightarrow \ 0\leqslant a,b,c\leqslant 1\ \ \ \ \Longrightarrow \ \begin{cases} a-1\leqslant 0 & \\ b-1\leqslant 0 & \\ c-1\leqslant 0 & \end{cases}\\ \Longrightarrow \ a( a-1) +b( b-1) +c( c-1) \leqslant 0\\ \Leftrightarrow \ a^{2} -a+b^{2} -b+c^{2} -c\leqslant 0\\ \Leftrightarrow \ a+b+c\geqslant a^{2} +b^{2} +c^{2} =1\\ Ta\ có:\ P=\sqrt{a+b} +\sqrt{b+c} +\sqrt{c+a}\\ \Leftrightarrow \ P^{2} =2( a+b+c) +2\sqrt{( a+b)( b+c)} +2\sqrt{( b+c)( c+a)} +2\sqrt{( a+b)( c+a)}\\ \Leftrightarrow \ P^{2} =2( a+b+c) +2\sqrt{ab+ac+b^{2} +bc} +2\sqrt{bc+ab+c^{2} +ac} +2\sqrt{ac+a^{2} +bc+ab}\\ \Longrightarrow \ P^{2} \geqslant 2( a+b+c) +2\sqrt{a^{2}} +2\sqrt{b^{2}} +2\sqrt{c^{2}} =4( a+b+c) =4 \Leftrightarrow \ P\geqslant 2\\ Dấu\ "="\ xảy\ ra\ \Leftrightarrow \ ( a;b;c) =\{( 1;0;0) ;( 0;0;1) ;( 0;1;0)\}\\ Vậy\ minP\ =\ 2\ đạt\ được\ khi\ ( a;b;c) =\{( 1;0;0) ;( 0;0;1) ;( 0;1;0)\} \ \end{array}\)
