Note: Em không chắc.Rất mong được mọi người góp ý ạ,em chưa biết cách dùng sos nên đành dùng cách khác ạ.
BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^{ 4}+b^4+c^4+ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)-ab\left(a^2+b^2\right)-bc\left(b^2+c^2\right)-ca\left(c^2+a^2\right)\ge0\) (*)
Dễ thấy BĐT trên là hệ quả của BĐT sau: \(a^4-ab\left(a^2+b^2\right)+b^4\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)(2). Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có:
\(VT=\frac{\left(a^2\right)^2}{1}+\frac{\left(b^2\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
Ta luôn có \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Suy ra: \(VT=a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)=VP\)
Do vậy BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng (do 2 BĐT này tương đương nhau)
Tương tự với hai BĐT còn lại ta cũng có: \(b^4-bc\left(b^2+c^2\right)+c^4\ge0\);
\(c^4-ca\left(c^2+a^2\right)+a^4\ge0\). Cộng theo vế 3 BĐT trên suy ra (*) đúng hay ta có Q.E.D
\(2a^4+a+2b^4+b+2c^4+c\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\)
\(=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1-9\)
\(\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\left(a+b+c\right)-9=2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
bạn vào trang cá nhân của mình đánh giá 5 sao nha. Mình cho lại các bạn 5 sao == mk xin mà. Mình sẽ giúp bạn giải hết bài tập nha nếu mình giải được 5sao
chơi nro ko
^"_^
tại sao lại có đc
2a4+a+2b4+b+2c4+c\(\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Hay là cách này ạ? Tuy nhiên em không chắc đâu ạ! Mong mọi người góp ý cho!
Tương tự như cách kia,ta cần chứng minh: \(P=2\left(a^4+b^4+c^4\right)-ab\left(a^2+b^2\right)-bc\left(b^2+c^2\right)-ca\left(c^2+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(b^2+bc+c^2\right)\left(b-c\right)^2+\left(c^2+ca+a^2\right)\left(c-a\right)^2\ge0\) (*)
Nhận xét rằng P là biểu thức đối xứng 3 biến a,b,c nên ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)
Khi đó: \(\hept{\begin{cases}a^2+ab+b^2\ge3c^2\ge0\\b^2+bc+c^2\ge3c^2\ge0\\c^2+ca+a^2\ge3c^2\ge0\end{cases}}\). Do vậy BĐT (*) là đúng hay ta có đpcm.
Cách 3:
Giả sử c = min{a,b,c}. BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(VT-VP=2\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a^2+ac+b^2+bc+2c^2\right)\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Cách 4:
Giả sử a = min {a,b,c} hoặc c = max{a,b,c} gì cũng được.
BĐT\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
