Question

Cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y = 1.

Tìm GTNN của biểu thức:

M= (\(x^2+\dfrac{1}{y^2}\)).(y\(^2\)+ \(\dfrac{1}{x^2}\)).

Giúp mình nk ^^

Answer 1

Lời giải:

Khai triển ta có:

\(M=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(1=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(M=\left(x^2y^2+\frac{1}{16^2x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}+2\geq 2\sqrt{\frac{1}{16^2}}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256x^2y^2}\) . Mà \(xy\leq \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow M\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256x^2y^2}\geq \frac{17}{8}+\frac{255}{256.\frac{1}{16}}=\frac{289}{16}\)

Vậy \(M_{\min}=\frac{289}{16}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Akai haruma giải dùm mình 5 bài mới đăng đi