Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Linh

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2\)+\(y^2\)+\(z^2\)≤3. Chứng minh P=\(\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+xz}+\dfrac{1}{1+yz}\)\(\dfrac{3}{2}\)

 Mashiro Shiina
28 tháng 12 2017 lúc 12:03

Ta có bất đẳng thức phụ: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\le3\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+xz}+\dfrac{1}{1+yz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{1+xy+1+xz+1+yz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{1+1+1+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Linh Mai
Xem chi tiết
Ngọc Nhi
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
khoa
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Dat
Xem chi tiết
Cao Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết
Nguyen
Xem chi tiết