Violympic toán 9

Cao Thị Thùy Linh

Cho x,y là 2 số dương: x + y = 1.

Tìm GTNN: M= ( x + \(\dfrac{1}{x}\))\(^2\) + (y +\(\dfrac{1}{y}\))\(^2\).

Giúp mình nha, gấp lắm ^^

Hà Nam Phan Đình
17 tháng 9 2017 lúc 18:36

\(M=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)

ta có \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2=1-2xy\) theo BĐT Cô si: \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow1-2xy\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng tiếp BĐT Cô Si :\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+8+4=\dfrac{25}{2}\)

dấu = xảy ra tại \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
Cao Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Cao Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
nguyễn rose
Xem chi tiết
Khánh Phan Bá Hoàng
Xem chi tiết
Ha Hoang Vu Nhat
Xem chi tiết
Hong Ra On
Xem chi tiết
Zenitisu
Xem chi tiết
Trần Ích Bách
Xem chi tiết