Ch0 tam giác vuông tại A, M là trung điểm BC, kẻ MD vuông góc với AB, D thuộc AB, và kẻ ME vuông góc với AC, E thuộc AC. Câu A, tứ giác A, D M E A là hình gì? Câu B, lấy điểm N sao cho D là trung điểm của M N, chứng minh rằng tứ giác A, M, B, N là hình thoi. Câu C, tam giác A B C có thêm điều kiện gì thì tứ giác A M B N là hình vuông?
a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADME là hình chữ nhật
b: Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MD//AC
Do đó: D là trung điểm của AB
Xét tứ giác AMBN có
D là trung điểm chung của AB và MN
=>AMBN là hình bình hành
Hình bình hành AMBN có AB⊥MN
nên AMBN là hình thoi
c: Hình thoi AMBN trở thành hình vuông khi MA⊥MB
=>AM⊥BC tại M
Xét ΔABC có
AM là đường cao
AM là đường trung tuyến
Do đó: ΔABC cân tại A
=>AB=AC
Câu A: Do tam giác ABC vuông tại A, AB ắt AC. Từ M kẻ MD vuông góc AB nên MD song song AC; tương tự ME vuông góc AC nên ME song song AB. A thuộc AB, D thuộc AB, E thuộc AC; do đó AD song song ME và AE song song MD. Tứ giác ADME có góc vuông tại A và hai cặp cạnh đối song song nên là hình chữ nhật. Câu B: Lầy N sao cho D là trung điểm MN, suy ra M và N đối xứng qua D. Vị M là trung điểm BC trong tam giác vuông ABC nên AM = BM = CM. D là trung điểm MN đồng thời nằm trên AB, do tính đối xứng suy ra BN = BM và NA = AM. Vậy bốn cạnh AM, MB, BN, NA bằng nhau, tứ giác AMBN là hình thoi. Câu C: Hình thoi AMBN sẽ là hình vuông khi một góc trong hình thoi vuông, tương đương tam giác ABC vuông cân tại A. Xét trong hệ trò độ tại A(0,0), B(a,0), C(0,c) ta dễ thấy M(a/2,c/2) và N(a/2,-c/2). Tích vô hương MA, MB bằng \frac{a^2}{4} - \frac{c^2}{4}. Để góc M vuông ta cần \frac{a^2}{4} - \frac{c^2}{4} = 0, suy ra a = c. Do đó tam giác ABC phải vuông cân (AB = AC) thì hình thoi AMBN trở thành hình vuông.
