Ta có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(-z\right)^3\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)\(\Rightarrow x+y+z=0\left(đpcm\right)\)( P/s cx ko chắc lắm :P )
That's very easy
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3+3x^2y+3y^2x\right)+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\end{cases}}\)
Lại có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
Nhân 2 lên , nhóm vào ta được các cặp số : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\left(2\right)\)( làm tắt )
Do \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z\\\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z\left(3\right)\)
Từ ( 2 ) ; ( 3 ) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\left(4\right)\)
Từ (1) ; (4) => đpcm
Bổ sung : \(\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\)
P/s bài làm của hỏa long natsu có vẻ đầy đủ hơn mình nhưng vận dụng hằng đẳng thức để làm vx ra nhé =)))))))
Ngoài ra,ta có thể dùng c/m phản chứng! Lưu ý không ghi dòng chữ in nghiêng!
Hướng làm: Khai thác giả thiết \(x^3+y^3+z^3=3xyz\). Sau đó,giả sử \(x+y+z\ne0\) hoặc \(x\ne y\ne z\) để dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết.Từ đó suy ra đpcm!
Bài làm
Ta có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(-x\right).\left(-y\right).\left(-z\right)=0\)
*Chứng minh x + y + z = 0
Giả sử \(x+y+z\ne0\) \(\Rightarrow x+y\ne-z;y+z\ne-x;z+x\ne-y\)
Mặt khác, \(x+y+z\ne0\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3\ne0\)
hay \(x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\ne x^3+y^3+z^3+3\left(-z\right)\left(-x\right)\left(-y\right)=x^3+y^3+z^3-3xyz\) (trái với giả thiết)
C/m tương tự với \(x+y+z=0\) (xem nó có đúng với giả thiết không?)
Từ đó suy ra \(x+y+z=0\) (đpcm)
Bạn dùng cách tương tự để chứng minh x = y = z.
