Tam giác IMN vuông, mà \(IM=IN=R\Rightarrow\Delta IMN\) vuông cân tại I
\(\Rightarrow MN=R\sqrt{2}=\sqrt{34}\)
Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\Rightarrow IH=d\left(I;MN\right)\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(IH=\sqrt{IM^2-MH^2}=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{MN}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\)
Phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ có dạng: \(ax+by=0\) (với \(a^2+b^2\ne0\))
\(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2a-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=IH=\dfrac{\sqrt{34}}{2}\)
\(\Rightarrow2\left|2a-3b\right|=\sqrt{34a^2+34b^2}\)
\(\Leftrightarrow16a^2-48ab+36b^2=34a^2+34b^2\)
\(\Leftrightarrow9a^2+24ab-b^2=0\)
Chọn \(b=1\Rightarrow9a^2+24a-1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{-4+\sqrt{17}}{3}\\a=\dfrac{-4-\sqrt{17}}{3}\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{-4+\sqrt{17}}{3}x+y=0\\\dfrac{-4-\sqrt{17}}{3}x+y=0\end{matrix}\right.\)
