Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB tại E và DF vuông góc với AC tại F
a) Chứng minh: tứ giác AEDF là hình chữ nhật
b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm G sao cho FG = FD. Chứng minh tứ giác ADCG là hình thoi
c) Gọi H là trung điểm của AD. Trên cạnh AG lấy điểm I ( khác điểm A ) sao cho HI = HF. Chứng minh AI vuông góc với DI
a: Xét tứ giác AEDF có \(\hat{AED}=\hat{AFD}=\hat{FAE}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
b: ta có: DF⊥AC
AB⊥CA
Do đó: DF//AB
ta có: DE⊥AB
AB⊥AC
Do đó: DE//AC
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC
DE//AC
Do đó; E là trung điểm của AB
Xét ΔBAC có
D là trung điểm của BC
DF//AB
Do đó:F là trung điểm của AC
Xét tứ giác ADCG có
F là trung điểm chung của AC và DG
=>ADCG là hình bình hành
Hình bình hành ADCG có AC⊥DG
nên ADCG là hình thoi
c: AEDF là hình chữ nhật
=>AD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường
mà H là trung điểm của AD
nên H là trung điểm của EF
AEDF là hình chữ nhật
=>EF=AD
mà \(HE=HF=\frac{EF}{2};HA=HD=\frac{AD}{2}\)
nên HE=HF=HA=HD=EF/2=AD/2
HI=HF
=>IH=AD/2
Xét ΔIAD có
IH là đường trung tuyến
\(IH=\frac{AD}{2}\)
Do đó: ΔIAD vuông tại I
=>IA⊥ID
