Câu 1: Cho phương trình \(\log_3\left(3x^2-6x+6\right)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1.\) Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left(x;y\right)\) với \(0< x< 2023\) và \(y\in\) \(\mathbb{N}\) thỏa mãn phương trình đã cho?
Câu 2: Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left|3e^{4x}-4e^{3x}-24e^{2x}+48e^x+m\right|.\) Gọi A, B lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[0;\ln2\right].\) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \([-23;10)\) thỏa mãn \(A\) \(\leq\) \(3B\). Tổng các phần tử của tập S bằng bao nhiêu?
1.
\(log_33\left(x^2-2x+2\right)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(x^2-2x+2\right)+\left(x^2-2x+2\right)=log_33^{y^2}+3^{y^2}\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) với \(t>0\)
\(f'\left(t\right)=\dfrac{1}{t.ln3}+1>0;\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow x^2-2x+2=3^{y^2}\)
\(\Rightarrow y^2=log_3\left(x^2-2x+2\right)\) (1)
\(0< x< 2023\Rightarrow log_32< log_3\left(x^2-2x+2\right)< log_34088485\)
\(\Rightarrow0,63< y^2< 13,85\)
Mà y là số tự nhiên \(\Rightarrow y^2=\left\{1;4;9\right\}\Rightarrow y=\left\{1;2;3\right\}\)
Thay vào (1), ta được 5 giá trị x.
Vậy có 5 cặp (x;y) thỏa mãn
2.
Đặt \(e^x=t\in\left[1;2\right]\)
\(f\left(t\right)=\left|3t^4-4t^3-24t^2+48t+m\right|\)
Xét hàm \(g\left(t\right)=3t^4-4t^3-24t^2+48t+m\) trên \(\left[1;2\right]\)
\(g'\left(t\right)=12t^3-12t^2-48t+48\)
\(=12\left(t+2\right)\left(t-1\right)\left(t-2\right)\le0;\forall t\in\left[1;2\right]\)
\(\Rightarrow g\left(t\right)\) nghịch biến trên \(\left[1;2\right]\)
\(g\left(1\right)=m+23\) ; \(g\left(2\right)=m+16\)
TH1: \(m+16\ge0\Rightarrow m\ge-16\)
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(t\right)=m+23\) ; \(\min\limits_{\left[1;2\right]}f\left(t\right)=m+16\)
\(\Rightarrow m+23\le3\left(m+16\right)\)
\(\Rightarrow m\ge-\dfrac{25}{2}\Rightarrow m=\left\{-12,-11,...,10\right\}\)
TH2: \(-23\le m< -16\Rightarrow A=max\left\{\left|m+16\right|;\left|m+23\right|\right\}\)
\(B=0\)
Hiển nhiên \(A>0\) nên ko thỏa mãn \(A\le3B\)
Vậy tổng giá trị của S là \(-12-11=-23\)
