Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Jenny Phạm

Câu 1 :

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : \(\left(x^2+y^2+1\right)^2-5x^2-4y^2-5=0\)

b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c\le6\) . Tìm GTLN của biểu thức :

\(P=\dfrac{ab}{a+3b+2c}+\dfrac{bc}{b+3c+2a}+\dfrac{ca}{c+3a+2b}\)

Nhã Doanh
3 tháng 8 2018 lúc 17:52

Áp dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\) ( Câu hỏi của ZoZ - Kudo vs Conan - ZoZ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Áp dụng vào, ta có:

\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b}\right)\)\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}=\dfrac{bc}{\left(a+c\right)+\left(a+b\right)+2c}\le\dfrac{9}{bc}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2c}\right)\)\(\dfrac{ca}{c+3a+2b}=\dfrac{ca}{\left(c+b\right)+\left(b+a\right)+2a}\le\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c+b}+\dfrac{1}{b+a}+\dfrac{1}{2a}\right)\)

Cộng vế theo vế BĐT, ta được:

\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}\right)+\dfrac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{9}\left[\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\dfrac{b\left(c+a\right)}{a+c}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right]+\dfrac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)\) \(=\dfrac{1}{6}.6=1\)

\(\Rightarrow Max_P=1\Leftrightarrow a=b=c=2\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Trần Duy Thiệu
Xem chi tiết
Văn Thành Nguyễn
Xem chi tiết
Linh Lê
Xem chi tiết
Lê Dung
Xem chi tiết
Nguyen Ha Linh
Xem chi tiết
Natsu Dragneel
Xem chi tiết
Phàn Tử Hắc
Xem chi tiết
Sương Đặng
Xem chi tiết
Sương Đặng
Xem chi tiết