Question

(b+c)/a + (c+a)/b + (a+b)/c >= 4 (a/(b+c) + b/(c+a)  + c/(a+b))

Answer 1

Ta có : \(VT=\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge\frac{b+c+c+a+a+b}{a+b+c}\)

\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)}=2\)

Lại có : \(VP=4\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\ge4\left(\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}\right)\)

\(=4\left(\frac{\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}\right)=4.\frac{1}{2}=2\)

Từ đó suy ra đpcm

Answer 2

Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(VT=\Sigma\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)=\Sigma b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\ge\Sigma\frac{4b}{a+c}=VP\)

Bài này có gì khó đâu nhỉ? *.*

Answer 3

Bạn giúp mình thêm câu này được không bạn : Cho a,b,c > 0 . chứng minh rằng a²/b + b²/c + C²/a  > căn(a²- ab + b²) + căn(b²- bc + c²) + căn(a² - ca + c²)

Answer 4

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=2\sqrt{\frac{\left(a^2-ab+b^2\right)}{a+b}.\frac{a+b}{4}}\le\frac{\left(a^2-ab+b^2\right)}{a+b}+\frac{a+b}{4}\)

Nên ta đi chứng minh: \(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\Sigma\frac{\left(a^2-ab+b^2\right)}{a+b}+\Sigma\frac{\left(a+b\right)}{4}\)

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo SOS.

Answer 5

Mình cảm ơn nhiều