Question

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB < AC và phân giác AD (D ∈ BC). Trên AC lấy điểm E sao cho
AE = AB. Trên tia AB lấy điểm F sao cho AC = AF. Chứng minh:
a) DB DE BF CE = = ;
b) Ba điểm F D E , , thẳng hàng
c) BE FC AD FC / / ; ⊥

Answer 1

Bạn ghi lại đề đi bạn

Answer 2

Bạn vẽ hình giúp mình nhé!

a. Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AED\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AE\left(gt\right)\\\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\left(AD.là.đường.phân.giác.của\widehat{A}\right)\\AD.là.cạnh.chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABD\) = \(\Delta AED\) (c-g-c)

\(\Rightarrow DB=DE\left(đpcm\right)\)

Lại có: \(AF=AC\Rightarrow AB+BF=AE+EC\)

Mà \(DB=DE\) \(\Rightarrow\)BF=EC (đpcm)

b. Ta có: \(\Delta ABD\)=\(\Delta AED\) \(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AED}\)\(\Rightarrow\widehat{DBF}=\widehat{DEC}\)

Xét \(\Delta BDF\) và \(\Delta EDC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}BD=DE\left(cmt\right)\\\widehat{FBD}=\widehat{CED}\left(cmt\right)\\FB=EC\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta BDF\) = \(\Delta EDC\) (c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{FDB}=\widehat{CDE}\)

Mà \(\widehat{EDC}+\widehat{BDE}=180^o\) \(\Rightarrow\)\(\widehat{FDB}+\widehat{BDE}=180^o\) \(\Rightarrow F,D,E\) thẳng hàng (đpcm)

c. Ta có: \(AF=AC\Rightarrow\Delta AFC\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AFC}=\dfrac{180-\widehat{A}}{2}\)

Lại có \(\Delta ABE\) cân tại A (AB=AE) \(\Rightarrow\widehat{ABE}=\dfrac{180-\widehat{A}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AFC}=\widehat{ABE}\) (nằm ở vị trí đồng vị) \(\Rightarrow\) BE//FC

Gọi \(H=AD\cap FC\left(H\in FC\right)\)

Xét \(\Delta AFC\) cân tại A có AH là đường phân giác vừa là đường cao

\(\Rightarrow AH\perp FC\) hay \(AD\perp FC\) (đpcm)