Bài 28: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I( I nằm giữa A và O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh. a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn b) IA.IB=IC.ID và AE.AF = AC² c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định
a: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
Xét tứ giác BEFI có \(\widehat{BEF}+\widehat{BIF}=90^0+90^0=180^0\)
nên BEFI là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: ΔODC cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của CD
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C có CI là đường cao
nên \(IC^2=IA\cdot IB\)
=>\(IA\cdot IB=IC\cdot ID\)
Xét ΔAIF vuông tại I và ΔAEB vuông tại E có
\(\widehat{IAF}\) chung
Do đó: ΔAIF~ΔAEB
=>\(\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\)
=>\(AI\cdot AB=AE\cdot AF\left(1\right)\)
Xét ΔACB vuông tại C có CI là đường cao
nên \(AI\cdot AB=AC^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AF=AC^2\)
