Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài 2:
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
Đến đây bớt 3/2 ở mỗi vế rồi dùng sos xem sao? Giờ phải ăn cơm đi học rồi, chiều về làm, ko được sẽ nghĩ cách khác.
tth_new
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}\le\frac{a^2}{2bc}=\frac{a^3}{2abc}\)
Phùng Minh Quân vậy đề sai, đây là cách em biến đổi:
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2}-1\right)+...\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c^2}{a^2+b^2}+...\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\). Như vậy, cần sửa dấu bđt.
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a \geq b \geq c \Rightarrow c \leq 1 \Rightarrow a + b = 3 - c \geq 2\) và \(a \geq 1\)
Ta có \(L H S = a^{3} . a + b^{3} . b + c^{3} . c\)
\(= \left(\right. a^{3} - b^{3} \left.\right) a + \left(\right. b^{3} - c^{3} \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right) + c^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)\)
\(\geq \left(\right. a^{3} - b^{3} \left.\right) . 1 + \left(\right. b^{3} - c^{3} \left.\right) . 2 + 3 c^{3}\)
\(= a^{3} + b^{3} + c^{3} = R H S\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
