Question

Bài 1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức                      

a,\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\)                                        

b,\(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}\)

c, \(\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\)

Bài 2: 

a, Cho \(a,b,c,d\in R\).CM: \(|ac+bd|\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right).\left(c^2+d^2\right)}\)

b, Cho \(x^2+y^2=3\) . CM: \(-\sqrt{30}\le x+3y\le\sqrt{30}\)

c, Cho \(a>c>0,b>c\) .CM: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)

Giải chi tiết giúp mình nha! Mình cần gấp!!!

Answer 1

1. Áp dụng BĐT Bunhiakovski

a)  \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}.1+\sqrt{4-x}.1\right)^2}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)}=2\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=3\)

b)  \(\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}=\sqrt{\left(\sqrt{6-x}.1+\sqrt{x+2}.1\right)^2}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(6-x+x+2\right)}=4\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\sqrt{6-x}=\sqrt{x+2}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=2\)

c)  \(\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=\sqrt{\left(\sqrt{x}.1+\sqrt{2-x}.1\right)^2}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+2-x\right)}=2\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\sqrt{x}=\sqrt{2-x}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=1\)

Answer 2

1.Điều kiện xđ \(x\ge2,x\le4\)

Từ ĐKXĐ ta có 

\(x\ge2\Leftrightarrow x-2\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\ge0\left(1\right)\)

\(x\le4\Leftrightarrow4-x\ge0\Leftrightarrow\sqrt{4-x}\ge0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) cộng vế theo vế ta có: 

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge0+0=0\)