1/ \(B=\dfrac{4^6.9^4-4^5.18^4}{6^9.8-27^3.2^{13}}\)
\(=\dfrac{\left(2^2\right)^6.\left(3^2\right)^4-\left(2^2\right)^5.\left(2.3^2\right)^4}{\left(2.3\right)^9.2^3-\left(3^3\right)^3.2^{13}}\)
\(=\dfrac{2^{12}.3^8-2^{14}.3^8}{2^{12}.3^9-2^{13}.3^9}\)
\(=\dfrac{2^{12}.3^8.\left(1-2^2\right)}{2^{12}.3^9.\left(1-2\right)}\)
\(=\dfrac{-3}{3\cdot\left(-1\right)}=1\)
1: \(B=\dfrac{4^6\cdot9^4-4^5\cdot18^4}{6^9\cdot8-27^3\cdot2^{13}}\)
\(=\dfrac{2^{12}\cdot3^8-2^{14}\cdot3^8}{2^{12}\cdot3^9-3^9\cdot2^{13}}\)
\(=\dfrac{2^{12}\cdot3^8\left(1-2^2\right)}{2^{12}\cdot3^9\left(1-2\right)}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{-3}{-1}=1\)
2: p là số nguyên tố lớn hơn 3
=>p chắc chắn là số lẻ
=>p=2k+1
\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\)
\(=2k\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)\)
Vì k;k+1 là hai số nguyên liên tiếp
nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)
=>\(4k\left(k+1\right)⋮8\)
=>\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮8\)(2)
TH1: p=3k+1
\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(3k+1-1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\left(3k+2\right)⋮3\)
TH2: p=3k+2
\(\left(p+1\right)\left(p-1\right)=\left(3k+2+1\right)\left(3k+2-1\right)\)
\(=\left(3k+3\right)\left(3k+1\right)=3\left(k+1\right)\left(3k+1\right)⋮3\)
Do đó: \(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮3\)(1)
\(ƯCLN\left(3;8\right)=1\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\left(p+1\right)\left(p-1\right)⋮BCNN\left(3;8\right)=24\)
2/. Chưa chắc chắn đúng nha !!
Để chứng minh rằng nếu \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \((p+1)(p-1)\) chia hết cho 24, ta có thể sử dụng một số kiến thức về tính chia hết trong đại số modulơ.
Trước tiên, ta biết rằng nếu \(p\) là một số nguyên tố lớn hơn 3, thì \(p\) không chia hết cho 2 hoặc 3, vì nếu chia hết cho 2 thì \(p\) sẽ là số chẵn, và nếu chia hết cho 3 thì \(p\) sẽ là một số nguyên tố cùng dạng với 3. Vì thế, \(p\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(6k \pm 1\), với \(k\) là một số nguyên.
Tiếp theo, ta thấy rằng \(p+1\) và \(p-1\) đều là các số nguyên cách nhau đúng 2 đơn vị, nên một trong chúng chắc chắn chia hết cho 2. Ngoài ra, vì \(p\) không chia hết cho 2, nên \(p+1\) và \(p-1\) chắc chắn không chia hết cho 2 cùng một lúc.
Nếu \(p\) có dạng \(6k + 1\), thì \(p+1\) chia hết cho 6, và nếu \(p\) có dạng \(6k - 1\), thì \(p-1\) chia hết cho 6.
Như vậy, với mọi số nguyên tố lớn hơn 3, \((p+1)(p-1)\) sẽ chia hết cho \(2 \times 3 \times 2 = 12\), và do đó chia hết cho 24.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu \(p\) là một số nguyên tố lớn hơn 3, thì \((p+1)(p-1)\) chia hết cho 24.
