Bài 1: Cho \(\frac{x+y-3}{z}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{y+z+1}{x}=\frac{1}{x+y+z}\). Tìm x;y;z.
Bài 2: Cho \(\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}\). Tìm x.
Bài 3: Cho \(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\). Chứng minh rằng \(\left[{}\begin{matrix}a=c\\a+b+c+d=0\end{matrix}\right.\).
Bài 4: Tìm \(a_1;a_2;a_3;...;a_{100}\)biết:
\(\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=\frac{a_3-3}{98}=...=\frac{a_{100}-100}{1}\)và \(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}=10100\).
Bài 5: Tìm x biết:
a) \(\left[\frac{3x+1}{5}\right]=1\)
b) \(\left[\frac{7x-5}{3}\right]=-2\)
Bài 6: Tìm \(\left[x\right]\) biết:
a) \(3< x< \frac{17}{5}\)
b) \(\frac{-9}{2}< x< -4\)
c) \(\frac{-11}{3}< x< \frac{10}{-3}\)
Bài 3:
\(\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(d+a\right)=\left(c+d\right)\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ad+a^2+bd+ab=bc+c^2+bd+dc\)
\(\Leftrightarrow ad+a^2+ab-bc-c^2-dc=0\)
\(\Leftrightarrow d\left(a-c\right)+b\left(a-c\right)+\left(a-c\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+b+c+d\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=c\\a+b+c+d=0\end{matrix}\right.\)( đpcm )
Bài 4:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a_1-1}{100}=...=\frac{a_{100}-100}{1}=\frac{\left(a_1+a_2+...+a_{100}\right)-\left(1+2+...+100\right)}{1+2+...+100}\)(*)
+) Xét tổng \(1+2+...+100\)
Số số hạng là : \(\left(100-1\right):1+1=100\)( số )
Tổng trên là : \(\left(100+1\right)\cdot100:2=5050\)
Khi đó ta có : (*)\(=\frac{10100-5050}{5050}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=...=\frac{a_{100}-100}{1}=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=101\\a_2=101\\...\\a_{100}=101\end{matrix}\right.\)
Vậy \(a_1=a_2=...=a_{100}=101\)
4. + \(\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=...=\frac{a_{100}-100}{1}\) \(=\frac{\left(a_1+a_2+...+a_{100}\right)-\left(1+2+...+100\right)}{100+99+98+...+1}\)
\(=\frac{10100-\frac{100\cdot101}{2}}{\frac{100\cdot101}{2}}=\frac{10100-5050}{5050}=\frac{5050}{5050}=1\)
( theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau )
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1-1=100\\a_2-2=99\\...\\a_{100}-100=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{100}=101\)
5. a) \(\left[\frac{3x+1}{5}\right]=1\Leftrightarrow1\le\frac{3x+1}{5}< 2\)
\(\Leftrightarrow5\le3x+1< 10\)\(\Leftrightarrow4\le3x< 9\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{3}\le x< 3\)
b) \(\left[\frac{7x-5}{3}\right]=-2\Leftrightarrow-2\le\frac{7x-5}{3}< -1\)
\(\Leftrightarrow-6\le7x-5< -3\)
\(\Leftrightarrow-1\le7x< 2\Leftrightarrow\frac{-1}{7}\le x< \frac{2}{7}\)
Bài 2:
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}=\frac{3+12y}{42+6x}=\frac{3\left(1+4y\right)}{3\left(14+2x\right)}=\frac{1+4y}{14+2x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+4y}{24}=\frac{1+4y}{14+2x}\Leftrightarrow24=14+2x\Leftrightarrow2x=10\Leftrightarrow x=5\)
6. a) \(3< x< \frac{17}{5}\Rightarrow3< x< 3,4\)
\(\Rightarrow\left[x\right]=3\)
b) \(-\frac{9}{2}< x< -4\Rightarrow-4,5< x< -4\)
\(\Rightarrow\left[x\right]=-5\)
c) \(-\frac{11}{3}< x< \frac{10}{-3}\Rightarrow\frac{-11}{3}< x< -\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\left[x\right]=-4\)
Bài 1:
Tiếp tục áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{x+y-3}{z}=\frac{x+z+2}{y}=\frac{y+z+1}{x}=\frac{x+y-3+x+z+2+y+z+1}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Lại có: \(2=\frac{1}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z=\frac{1}{2}\)
Từ đó có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=\frac{1}{2}-z\\x+z=\frac{1}{2}-y\\y+z=\frac{1}{2}-x\end{matrix}\right.\)
Thay lần lượt vào 3 biểu thức trên ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}-z-3}{z}=2\\\frac{\frac{1}{2}-y+2}{y}=2\\\frac{\frac{1}{2}-x+1}{x}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{6}\\z=-\frac{5}{6}\end{matrix}\right.\)
Bài 5 :
\(a,\frac{3x+1}{5}=1\)
=> \(3x+1=1.5=5\)
=> \(3x=5-1=4\)
=> \(x=4:3=\frac{4}{3}\)
Vậy \(x\in\left\{\frac{4}{3}\right\}\)
\(b,\frac{7x-5}{3}=-2\)
=> \(7x-5=-2.3=-6\)
=> \(7x=-6+5=-1\)
=> \(x=-1:7=-\frac{1}{7}\)
Vậy \(x\in\left\{-\frac{1}{7}\right\}\)
