a.
Do AB là tiếp tuyến của (O) tại B \(\Rightarrow AB\perp OB\Rightarrow\widehat{ABO}=90^0\)
Tương tự do AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{ACO}=90^0\)
\(\Rightarrow\) B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}OB=OC=R\\AB=AC\left(\text{t/c hai tiếp tuyến cắt nhau}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow OA\) là trung trực BC
\(\Rightarrow OA\perp BC\) tại M
Xét hai tam giác OMN và OHA có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{OMN}=\widehat{OHA}=90^0\\\widehat{NOM}-chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta OMN\sim\Delta OHA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{OM}{OH}=\dfrac{ON}{OA}\Rightarrow OM.OA=ON.OH\)
c.
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau, AO là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (1)
Theo cm câu b do I thuộc OA, mà OA là trung trực BC \(\Rightarrow IB=IC\)
\(\Rightarrow\widehat{ICB}=\widehat{IBC}\)
Mà \(\widehat{IBC}=\widehat{ICA}\) (góc nt và góc tiếp tuyến - dây cung cùng chắn IC)
\(\Rightarrow\widehat{ICB}=\widehat{ICA}\)
\(\Rightarrow IC\) là phân giác \(\widehat{BCA}\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\) I là giao điểm 2 đường phân giác trong của tam giác ABC nên I là tâm đường tròn nội tiếp ABC
Thôi chót nên làm luôn ý cuối:
d.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCA với đường cao CM:
\(OC^2=OM.OA\Rightarrow R^2=OM.OA\)
Mà \(OM.OA=ON.OH\) (theo c/m câu b)
\(\Rightarrow ON.OH=R^2\)
\(\Rightarrow ON=\dfrac{R^2}{OH}\)
Do O cố định, d cố định nên H cố định
\(\Rightarrow\dfrac{R^2}{OH}\) không đổi
\(\Rightarrow ON\) không đổi
\(\Rightarrow N\) cố định
Vậy khi A di động thì BC luôn đi qua điểm N cố định
Anh chị giúp em với ạ^^
