lớn hơn hay = thế ạ
Ta có :
\(a^2b+b^2c+c^2a\ge\frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(1+2a^2b^2c^2\right)\ge9a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^{3v}+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)(*)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2b+a^4b^3c^2+a^3b^2c^4\ge3\sqrt[3]{a^9b^6c^6}=3a^3b^2c^2\)
\(b^2c+a^2b^4c^3+a^4b^3c^2\ge3a^2b^3c^2\)
\(c^2a+a^3b^2c^4+a^2b^4c^4\ge3a^2b^2c^3\)
Cộng theo vế
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+2a^4b^3c^2+2a^2b^4c^3+2a^3b^2c^4\ge3a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)\)
Vậy $(*)$ đúng
Do đó ta có đpcm
#Cừu
~
p/s: lần sau ghi nguồn
# https://h7.net/hoi-dap/toan-9/chung-minh-a-2b-b-2c-c-2a-9a-2b-2c-2-1-2a-2b-2c-2--faq362074.html
Bất đẳng thức tương đương với:
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2+\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\right)\ge9\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 3 số ta có:
\(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\ge\sqrt[3]{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a\)
\(b^2c+b^2c+\frac{1}{bc^2}\ge\sqrt[3]{b^2c.b^2c.\frac{1}{bc^2}}=3b\)
\(c^2a+c^2a+\frac{1}{ca^2}\ge\sqrt[3]{c^2a.c^2a.\frac{1}{ca^2}}=3c\)
Ta có thể suy ra được
\(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3a+3b+3c=9\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
Vậy bài toán đã được chứng minh
