Question

1.Cho tam giác MNP nhọn có H là trực tâm. Gọi A,B,C,D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MN,NH,HP,MP. Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

2. Ảnh

Answer 1

1:Xét ΔMNP có

A,D lần lượt là trung điểm của MN,MP

=>AD là đường trung bình của ΔMNP

=>AD//NP và \(AD=\dfrac{NP}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔHNP có

B,C lần lượt là trung điểm của HN,HP

=>BC là đường trung bình của ΔHNP

=>BC//NP và \(BC=\dfrac{NP}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra AD//BC và AD=BC

Xét ΔNMH có

A,B lần lượt là trung điểm của NM,NH

=>AB là đường trung bình của ΔNMH

=>AB//MH

mà MH\(\perp\)NP(H là trực tâm của ΔMNP)

nên AB\(\perp\)NP

mà NP//AD

nên AB\(\perp\)AD
Xét tứ giác ABCD có

AD//BC

AD=BC

Do đó: ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có AB\(\perp\)AD
nên ABCD là hình chữ nhật

4A: Xét ΔAPQ có

M là trung điểm của AP

MN//PQ

Do đó: N là trung điểm của AQ

=>AN=NQ(1)

Xét hình thang BMNC có

P là trung điểm của MB

PQ//MN//BC

Do đó: Q là trung điểm của NC

=>QN=QC(2)

Từ (1),(2) suy ra AN=NQ=QC