1.
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)
Hàm đồng biến trên \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)
Khi m dương thì \(m+1>1\Rightarrow\left[m+1;m+2\right]\in\left(1;+\infty\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[m+1;m+2\right]\)
\(\Rightarrow\min\limits_{\left[m+1;m+2\right]}f\left(x\right)=f\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^3-3\left(m+1\right)+1\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^3-3\left(m+1\right)+1< 3\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\left(m-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow m< 1\)
\(\Rightarrow m\in\left(0;1\right)\) (do m dương)
Vậy khẳng định của đề bài đúng (đoạn này hơi cấn cấn, do đề bài thực sự ko rõ ràng. Nếu đề nói hẳn là \(m\in\left(-1;1\right)\) và m dương thì khẳng định là đúng. Nhưng chỉ nói \(m\in\left(-1;1\right)\) thì thấy có gì đó ko ổn lắm, mặc dù ban đầu có cho m dương)
2.
Pt hoành độ giao điểm:
\(x^3-3mx+3=3x+1\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x+2=3mx\)
- Với \(x=0\) ko phải nghiệm
- Với \(x\ne0\Rightarrow3m=\dfrac{x^3-3x+2}{x}\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3-3x+2}{x}=x^2+\dfrac{2}{x}-3\)
\(f'\left(x\right)=2x-\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{2\left(x^3-1\right)}{x^2}=0\Rightarrow x=1\)
BBT:
Từ BBT thấy \(y=3m\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại đúng 1 điểm
\(\Rightarrow3m< 0\Rightarrow m< 0\)
