Question

1. Tìm số nguyên tố a, b, c

a) \(abc< ab+bc+ca\)

b) \(abc=3\left(a+b+c\right)\)

2.  Tìm p, q nguyên tố:

\(p+7pq^2=q^3+43p^2+1\)

 

 

Answer 1

1b.

Tương tự câu trên, giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(\Rightarrow ac^2\le abc=3\left(a+b+c\right)\le9a\)

\(\Rightarrow c\le3\)

Đồng thời: \(abc=3\left(a+b+c\right)\le9a\Rightarrow bc\le9\)

Mà \(c\ge2\Rightarrow b\le\dfrac{9}{2}\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}c=2\\b=2\end{matrix}\right.\) thay vào tìm a

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}c=2\\b=3\end{matrix}\right.\) thay vào tìm a

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}c=3\\b=3\end{matrix}\right.\) thay vào tìm a

2.

\(\Leftrightarrow p\left(1+7q^2-43p\right)=q^3+1\)

Nếu p, q đều lẻ \(\Rightarrow\) vế trái lẻ vế phải chẵn (vô lý)

\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 2 số p hoặc q phải bằng 2

TH1: \(p=2\) thay vào bấm máy giải pt bậc 3 theo q

TH2: \(q=2\) thay vào bấm máy giải pt bậc 2 theo p

Answer 2

1.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(abc< ab+bc+ca\le3ab\)

\(\Rightarrow c< 3\)

\(\Rightarrow c=2\Rightarrow2ab< ab+2a+2b\Rightarrow ab-2a-2b< 0\)

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)< 4\)

Với \(b=2\Rightarrow\) BPT luôn đúng

Với \(b=3\Rightarrow a=\left\{3;5\right\}\)

Với \(b>3\Rightarrow a>3\Rightarrow a;b\ge5\) ko thỏa mãn

\(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(p;2\right);\left(3;3\right);\left(3;5\right)\)

Vậy pt có các bộ nghiệm \(\left(2;3;3\right);\left(2;3;5\right);\left(2;2;p\right)\) với p là số nguyên tố bất kì