Question

1/ Giải phương trình: \(\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\)

2/ Cho 4 số thực x,y,z,t thỏa mãn đk \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\le1\\z^2+t^2\le1\end{matrix}\right.\)

Tìm GTLN của bt: P = \(\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}+\sqrt{\left(x-z\right)^2+\left(y-t\right)^2}\)

3/ Tìm GTNN của bt \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\) vs a,b,c > 0 và a + b + c = 3

4/ Cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge2\) . Tìm GTNN của xyz

Answer 1

3. \(P=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}+\frac{b\left(1+c^2\right)-bc^2}{bc^2}+\frac{c\left(1+a^2\right)-ca^2}{1+a^2}\)

\(=a+b+c-\left(\frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2}\right)\) \(\ge3-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Answer 2

Em xin phép làm bài 3 ạ :

Ta có : \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\) (AM - GM)

Tương tự ta chứng minh được : \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\) , \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)

Cộng các vế của BĐT trên ta có được :

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{6}\) (1)

Ta chứng minh được BĐT : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Áp dụng vào bài toán, BĐT (1) trở thành :

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(min\) \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)

Answer 3

4. \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+x}\ge\left(1-\frac{1}{1+y}\right)+\left(1-\frac{1}{1+z}\right)=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\)\(\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow y=z\)

Tương tự : \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}}\) Dấu "=" <=> x = z

\(\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\) Dấu "=" <=> x = y

Do đó : \(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge8\sqrt{\frac{x^2y^2z^2}{\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2}}\) \(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)

Answer 4

Câu 1 chẳng biết có nhầm đề không chứ nhìn đề thấy này chẳng thấy hướng giải nào cả :(

2/ \(P\le\frac{1}{2}\left[\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-t\right)^2\right]=x^2+y^2+z^2+t^2\le2\)

3/ \(P=\sum\frac{a}{1+b^2}=\sum\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)\ge\sum\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)=\sum\left(a-\frac{ab}{2}\right)\)

\(P\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge a+b+c-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)

4/ \(\frac{1}{1+x}\ge1-\frac{1}{1+y}+1-\frac{1}{1+z}=\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\frac{zx}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}};\frac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

Nhân vế với vế:

\(\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

Bài này tìm max, ko tìm được min, chắc bạn ghi nhầm đề

Answer 5

1, \(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\left(đk:-2\le x\le3\right)\)

<=> \(\left(\sqrt{x+2}-2\right)-\left(\sqrt{3-x}-1\right)=x^2-6x+8\)

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}+2\ge2>0\\\sqrt{3-x}+1\ge1>0\end{matrix}\right.\)

pt <=>\(\frac{x+2-4}{\sqrt{x++2}+2}-\frac{3-x-1}{\sqrt{3-x}+1}=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\)

<=>\(\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{x-2}{\sqrt{3-x}+1}-\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0\)

<=> \(\left(x-2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-x+4\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-x+4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét \(-2\le x\le3\) => \(6\ge4-x\ge1>0\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}>0\\\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}>0\\4-x>0\end{matrix}\right.\) => (1) vô ngiệm

Vậy ...

Answer 6

Trần Thanh PhươngtthAkai HarumaLê Thị Thục HiềnHồ Bảo Trâm

Answer 7

1/ \(\sqrt{x+2}-\sqrt{3-x}=x^2-6x+9\)

đề này ms đúng nha, xl mọi người Trần Thanh Phương @Lê Thị Thục Hiền @Nguyễn Việt Lâm