Question

1. cho tứ giác ABCD , O  là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua A và song song với BC với cắt BD  tại E, đường thẳng qua B và song song với AD cắt AC ở F.

a. chứng minh OE/OB = OA/OC

b. chung minh OE . OC = OD. OF

c. chung minh EF// DC

2. cho hình thang ABCD  có AB//CD và AB< CD.  Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo BD,AC. Gọi O là gaio điểm của hai đường chéo BD,AC .

a. chứng minh MN//AB

b. chứng minh OA / OB = NC/MD

c. chứng minh MN = CD-AB/2

Answer 1

bài 1:

a; Xét ΔOAE và ΔOCB có

\(\hat{OAE}=\hat{OCB}\) (hai góc so le trong, AE//BC)

\(\hat{AOE}=\hat{COB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAE~ΔOCB

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OB}\)

b: Xét ΔOBF và ΔODA có

\(\hat{OBF}=\hat{ODA}\) (hai góc so le trong, BF//DA)

\(\hat{BOF}=\hat{DOA}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOBF~ΔODA

=>\(\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}\)

=>\(OB\cdot OA=OD\cdot OF\) (1)

ta có: \(\frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OB}\)

=>\(OA\cdot OB=OE\cdot OC\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(OD\cdot OF=OE\cdot OC\)

c: \(OD\cdot OF=OE\cdot OC\)

=>\(\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OC}\)

Xét ΔODC có \(\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OC}\)

nên EF//DC
Bài 2:

a: Gọi E,F lần lượt là trung điểm của DA,BC

Xét ΔDAB có

E,M lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>EM là đường trung bình của ΔDAB

=>EM//AB và \(EM=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có

N,F lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>NF là đường trung bình của ΔCAB

=>NF//AB và \(NF=\frac{AB}{2}\)

Xét hình thang ABCD có

E,F lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>EF là đường trung bình của hình thang ABCD

=>EF//AB//CD và \(EF=\frac{AB+CD}{2}\)

Ta có: EF//AB

EM//AB

mà EM,EF có điểm chung là E

nên E,M,F thẳng hàng(1)

Ta có: EF//AB

NF//AB

mà EF,NF có điểm chung là F

nên E,F,N thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra E,M,F,N thẳng hàng

=>MN//AB

b: Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\hat{OAB}=\hat{OCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

\(\hat{AOB}=\hat{COD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\)

=>\(\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}=\frac{OA+OC}{OB+OD}=\frac{AC}{BD}=\frac{2\cdot NC}{2\cdot MD}=\frac{NC}{MD}\)

c: Ta có: EM+MN+NF=EF

=>\(\frac{AB}{2}+\frac{AB}{2}+MN=\frac{AB+CD}{2}\)

=>\(MN=\frac{CD+AB}{2}-\frac{2AB}{2}=\frac{CD-AB}{2}\)