Question

1) cho A = 4a²b² - (a² + b² - c² )² . Trong đó a; b; c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

Chứng minh: A > 0

Answer 1

Ta có a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác (gt)

⇒ a + b > c (bất đẳng thức tam giác) ⇒ a + b - c > 0

và a + c > b (bất đẳng thức tam giác) ⇒ c + a - b > 0

và b + c > a (bất đẳng thức tam giác) ⇒ c - a + b > 0

Theo đề bài ta có:

A = 4a²b² - (a² + b² - c²)²

= (2ab)² - (a² + b² - c²)²

= (2ab + a² + b² - c²)(2ab - a² - b² + c²)

= [(a + b)² - c²][c² - (a² - 2ab + b²)]

= (a + b + c)(a + b - c)[c² -(a - b)²]

= (a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)

Mà a + b + c > 0 (chu vi tam giác); a + b - c > 0 (cmt); c + a - b > 0 (cmt); c - a + b > 0 (cmt)

⇒ (a + b + c)(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) > 0

⇒ A > 0