Giả thiết:
Tam giác ABC nhọn, AB > AC.
BD ⟂ AC tại D, CE ⟂ AB tại E.
Lấy F ∈ AB sao cho AF = AC.
Kẻ FI ⟂ AC tại I.
a) So sánh FI và CE
Xét hai tam giác vuông ACF và ACE:
AF = AC (giả thiết)
AC là cạnh chung
góc FAC = góc CAE (vì cùng là góc tạo bởi AC và AB)
Suy ra tam giác ACF và tam giác ACE bằng nhau theo cạnh – góc – cạnh.
Do đó các đường cao tương ứng bằng nhau, suy ra
FI = CE.
b) Chứng minh AB − AC > BD − CE
Vì AB > AC nên điểm F nằm giữa A và B, do đó
FB = AB − AF = AB − AC.
Xét tam giác vuông FBD và tam giác vuông CEI:
BD là đường cao từ B xuống AC
FI là đường cao từ F xuống AC
CE là đường cao từ C xuống AB
Do B nằm xa A hơn F trên AB nên khoảng cách từ B đến AC lớn hơn khoảng cách từ F đến AC, suy ra
BD > FI.
Từ câu a) có FI = CE nên
BD > CE.
Khi đó:
AB − AC = FB > BD − CE.
Vậy
AB − AC > BD − CE.
Điều phải chứng minh.
